مدول های ثانویه روی حلقه های تعویض ناپذیر

اگر r یک حلقه ی دلخواه باشد، -rمدول راست، غیرصفر و یک دار m، یک مدول ثانویه نامیده می شود، هرگاه m و همه ی تصاویر هم ریختی(خارج قسمت ها) غیرصفرm، پوچ ساز یکسان در r داشته باشند. ثابت می شود که اگر r حلقه ای باشد که برای هر ایدال اول p از r، r/p یک حلقه ی گلدی چپ و کراندار چپ باشد، آن گاه r-مدول راست m، ثانویه است اگر و تنها اگر q=annr(m) یک ایدال اول r باشد و m یک –r/qمدول راست بخش پذیر باشد. اگر r در شرایط زنجیر صعودی روی ایدال های دوطرفه صدق کند، هر –rمدول، تصویر هم ریخت غیرصفری دارد که مدولی ثانویه است. هر مدول آرتینی غیرصفر، شامل مدول های ثانویه است و فقط تعداد متناهی عضو ماکسیمال در مجموعه ی زیرمدول های ثانویه وجود دارد. اگر r یک حلقه و m یک -rمدول راست غیرصفر که m شامل یک زیرمدول سره مانند n، چنان که m/n یک مدول ثانویه باشد و m دارای بعد پوچ متناهی n باشد(n یک عدد طبیعی)، در این صورت عدد طبیعی k و ایدال های اول pi(k?i??) وجود دارند به طوری که اگر l یک زیرمدول سره ی m وm/l یک مدول ثانویه باشد، آن گاه ann(m/l)=pi،,…,k ?i=. هر زیرمدول ثانویه از یک مدول آرتینی، مجموع تعداد متناهی از زیرمدول های ثانویه پوچ است.